Specjalność studiów I i II stopnia
Oferta dydaktyczna IAiR

Metody numeryczne

Cel

Zaznajomienie z podstawami tworzenia oprogramowania numerycznego spełniającego wymogi stabilności numerycznej oraz efektywności. Wprowadzenie do pakietów liniowej algebry numerycznej.

Opis

Zadanie numeryczne, algorytmy numeryczne. Nieosobliwy układ równań liniowych. Metody rozwiązywania układu liniowego. Metody rozwiązywania układu równań nieliniowych. Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Wprowadzenie do całkowania równań różniczkowych cząstkowych. Zadanie dopasowania funkcji do danych empirycznych.

Wymagania

Ukończony kurs matematyki w zakresie algebra liniowa, analiza matematyczna, podstawy programowania.

Bibliografia

  1. Bjorck, A., Dahlquist, R., "Metody numeryczne", PWN, 1987.
  2. Fortuna, Z., Macukow, B., Wasowski, J., "Metody numeryczne", WNT, 2005.
  3. Kiełbasiński, A., H. Schwetlick, "Numeryczna algebra liniowa", WNT, 1992.
  4. Golub, G. , Ch. VanLoan, "Matrix computations", J. Hopkins University Press, 1997.
  5. Pytlak, R., "Numerical methods for optimal control problems with state constraints", Springer-Verlag, 1999.
  6. Lindfield, G., J. Penny, "Numerical methods using Matlab", Prentice Hall, 2000.

Metody oceny

Zaliczenie wykładu na podstawie egzaminu

Szczegółowy rozkład zajęć

Nr Temat Opis Wymiar
1 Zadanie numeryczne, algorytmy numeryczne Zadanie numeryczne jako przekształcenie nieliniowe danych w wynik zadania. Uwarunkowanie względne i bezwzględne zadania numerycznego. Arytmetyka zmiennopozycyjna. Stabilność i poprawność numeryczna algorytmów. W 2
2 Nieosobliwy układ równań liniowych Perturbowany układ równań liniowych. Współczynnik uwarunkowania macierzy. W 1
3 Metody rozwiązywania układu liniowego Macierz transformacji Gaussa. Faktoryzacja LU macierzy. Metoda faktoryzacji LU z częściowym ‘pivoting’. Faktoryzacja Choleskiego macierzy. Metoda Householdera w oparciu o faktoryzację QR W 3
4 Metody rozwiązywania układu równań nieliniowych Metoda Newtona rozwiązywania układu równań nieliniowych. Modyfikacje schematu Newtona, metody zmiennej metryki. W 1
5 Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych Metoda Eulera. Zagadnienie stabilności procedur całkowania. Metody Runge-Kutta. Układ sztywny równań różniczkowo-algebraicznych. Metody uwikłane Runge-Kutta, metoda BDF. W 3
6 Wprowadzenie do całkowania równań różniczkowych cząstkowych Metody aproksymacji pochodnych za pomocą różnic skończonych. Zagadnienie brzegowe. Metody dyskretyzacji równań. Wprowadzenie do numerycznego rozwiązywania równań hiperbolicznych, eliptycznych. W 2
7 Zadanie dopasowania funkcji do danych empirycznych Zadanie interpolacji wielomianowej. Nieliniowe zadanie najmniejszych kwadratów. Metoda Levenberga-Marquardta. Metody regresji liniowej. W 3
1 Rozwiązywanie układu równań liniowych Współczynnik uwarunkowania macierzy. Dekompozycja LU macierzy nieosobliwej z częściowym „pivoting”. Dekompozycja Choleskiego i QR. Rozwiązanie układów równań: nieosobliwego i nadokreślonego. L 2
2 Całkowanie równań różniczkowych Metody całkowania Eulera, Runge-Kutta i uwikłana Runge-Kutta. Metoda BDF i automatyczny dobór kroku całkowania. Analiza stabilności procedur całkowania. L 2
3 Nieliniowe zagadnienie najmniejszych kwadratów Zadanie doboru współczynników modelu nieliniowego w oparciu o dane empiryczne. Analiza wrażliwościowa rozwiązania L 2
1 Rozwiązanie wybranego zadania numerycznego Sformułowanie zagadnienia technicznego jako zadanie numeryczne. Wybór procedur numerycznych do rozwiązania zadania. Opracowanie programu, z wykorzystaniem wybranych procedur, do rozwiązania zadania. Analiza wyników. P 9
Instytut Automatyki i Robotyki
Politechnika Warszawska